kaoyan3basic 线性代数 第425题
📝 题目
### 第425题 425 与矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right]$ 合同的矩阵是 （A）$\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & 0\end{array}\right]$ ． （B）$\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & -1 & \\ & & 0\end{array}\right]$ ． （C）$\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & -1\end{array}\right]$ ． （D）$\left[\begin{array}{lll}-1 & & \\ & -1 & \\ & & 0\end{array}\right]$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：计算矩阵$\boldsymbol{A}$的特征值。由$|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=0$得$\lambda_1=0,\lambda_2=1,\lambda_3=1$。 步骤2：合同矩阵具有相同的正负惯性指数。$\boldsymbol{A}$的正惯性指数为2，负惯性指数为0，故合同于$\begin{pmatrix}1&&\\&1&\\&&0\end{pmatrix}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算矩阵A的特征值
由特征方程|λE - A| = 0，计算行列式：
|λ, 1, -1; 1, λ, 1; -1, 1, λ-2| = 0，展开得λ(λ-1)^2=0，解得λ1=0，λ2=λ3=1。
公式：|λE - A| = 0
提示：注意行列式计算，可先化简再展开。
步骤 2/3
目标：确定正负惯性指数
特征值中正数个数为2（λ=1重根），负数个数为0，零的个数为1，因此正惯性指数p=2，负惯性指数q=0。
公式：p = 正特征值个数，q = 负特征值个数
提示：合同矩阵具有相同的正负惯性指数。
步骤 3/3
目标：选择合同矩阵
合同于对角矩阵diag(1,1,0)，即选项（A）。
提示：注意选项（A）为diag(1,1,0)，（B）为diag(1,-1,0)，（C）为diag(1,1,-1)，（D）为diag(-1,-1,0)。
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