kaoyan3basic 线性代数 第424题
📝 题目
### 第424题 424 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]$ ，若 $\boldsymbol{A}+k \boldsymbol{E}$ 正定，则 $k$ 的取值范围是 （A）$k=1$ ． （B）$k>1$ ． （C）$k \geqslant 1$ ． （D）$k \leqslant 1$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：$\boldsymbol{A}$特征值为$-1,1,1$，则$\boldsymbol{A}+k\boldsymbol{E}$特征值为$k-1,k+1,k+1$，正定需全大于0，即$k-1>0$且$k+1>0$，得$k>1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求矩阵A的特征值
矩阵A是实对称矩阵，计算其特征值。由A的结构，特征多项式为|λE-A|=0，解得特征值为-1,1,1。
公式：|λE-A|=0
提示：注意A是置换矩阵，特征值易得。
步骤 2/3
目标：求A+kE的特征值
若A的特征值为λ，则A+kE的特征值为λ+k。因此A+kE的特征值为k-1, k+1, k+1。
公式：λ(A+kE) = λ(A) + k
提示：矩阵加常数倍单位阵，特征值平移。
步骤 3/3
目标：根据正定条件求k的范围
实对称矩阵正定当且仅当所有特征值大于0。故需k-1>0且k+1>0，解得k>1。
公式：正定 ⇔ 所有特征值 > 0
提示：注意k+1>0自动满足当k>1时。
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