kaoyan3basic 线性代数 第423题
📝 题目
### 第423题 423 下列矩阵中，正定矩阵是 （A）$\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6\end{array}\right]$ ． （B）$\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 3 \\ 0 & 3 & 8\end{array}\right]$ ． （C）$\left[\begin{array}{rrr}2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5\end{array}\right]$ ． （D）$\left[\begin{array}{lll}5 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 0\end{array}\right]$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：正定矩阵各阶顺序主子式大于0。选项C：$|2|=2>0$，$\begin{vmatrix}2&2\\2&5\end{vmatrix}=6>0$，$\begin{vmatrix}2&2&-2\\2&5&-4\\-2&-4&5\end{vmatrix}=2>0$，故正定。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：判断各选项矩阵是否正定
正定矩阵的充要条件是所有顺序主子式大于0。依次计算每个矩阵的各阶顺序主子式。
公式：顺序主子式：第k阶顺序主子式为前k行前k列组成的子式。
提示：注意顺序主子式必须全部大于0，不能有等于0或负数。
步骤 2/5
目标：计算选项A的顺序主子式
矩阵A: [[1,2,3],[2,4,5],[3,5,6]]。一阶: 1>0；二阶: det([[1,2],[2,4]])=1*4-2*2=0；三阶: det(A)=1*(4*6-5*5)-2*(2*6-3*5)+3*(2*5-3*4)=1*(24-25)-2*(12-15)+3*(10-12)=(-1)-2*(-3)+3*(-2)=-1+6-6=-1<0。二阶为0，三阶为负，故非正定。
公式：det([[a,b],[c,d]])=ad-bc
提示：二阶主子式为0已不满足正定条件。
步骤 3/5
目标：计算选项B的顺序主子式
矩阵B: [[1,2,0],[2,5,3],[0,3,8]]。一阶: 1>0；二阶: det([[1,2],[2,5]])=1*5-2*2=1>0；三阶: det(B)=1*(5*8-3*3)-2*(2*8-0*3)+0=1*(40-9)-2*(16-0)=31-32=-1<0。三阶为负，故非正定。
公式：det(B)=1*(5*8-3*3)-2*(2*8-0*3)+0
提示：三阶主子式小于0，不满足条件。
步骤 4/5
目标：计算选项C的顺序主子式
矩阵C: [[2,2,-2],[2,5,-4],[-2,-4,5]]。一阶: 2>0；二阶: det([[2,2],[2,5]])=2*5-2*2=10-4=6>0；三阶: det(C)=2*(5*5-(-4)*(-4))-2*(2*5-(-2)*(-4))+(-2)*(2*(-4)-(-2)*5)=2*(25-16)-2*(10-8)+(-2)*(-8+10)=2*9-2*2+(-2)*2=18-4-4=10>0。所有顺序主子式大于0，故正定。
公式：det(C)=2*(5*5-(-4)*(-4))-2*(2*5-(-2)*(-4))+(-2)*(2*(-4)-(-2)*5)
提示：计算三阶行列式时注意符号。
步骤 5/5
目标：计算选项D的顺序主子式
矩阵D: [[5,2,1],[2,1,3],[1,3,0]]。一阶: 5>0；二阶: det([[5,2],[2,1]])=5*1-2*2=5-4=1>0；三阶: det(D)=5*(1*0-3*3)-2*(2*0-1*3)+1*(2*3-1*1)=5*(0-9)-2*(0-3)+1*(6-1)=5*(-9)-2*(-3)+1*5=-45+6+5=-34<0。三阶为负，故非正定。
公式：det(D)=5*(1*0-3*3)-2*(2*0-1*3)+1*(2*3-1*1)
提示：三阶主子式小于0，不满足条件。
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