kaoyan3basic 线性代数 第385题

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📝 题目

### 第385题 385 已知 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 （A） $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{1}$. （B） $\boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{1}$. （C） $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{1}$ ． （D） $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$.

💡 答案解析

**答案**：A **解析**： 步骤1：设$(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)K$，$K=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}$。 步骤2：$|K|=2\neq0$，故线性无关。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：将向量组表示为矩阵乘积形式
设向量组 (α1+α2, α2+α3, α3+α1) = (α1, α2, α3) K，其中 K 为系数矩阵。
公式：(α1+α2, α2+α3, α3+α1) = (α1, α2, α3) K
提示：注意每个新向量是原向量的线性组合，系数构成矩阵的列。
步骤 2/4
目标：写出系数矩阵 K
由 α1+α2 = 1·α1 + 1·α2 + 0·α3，α2+α3 = 0·α1 + 1·α2 + 1·α3，α3+α1 = 1·α1 + 0·α2 + 1·α3，得 K = [[1,0,1],[1,1,0],[0,1,1]]。
公式：K = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
提示：注意列对应新向量的系数。
步骤 3/4
目标：计算系数矩阵的行列式
计算 |K| = 1*(1*1 - 0*1) - 0*(1*1 - 0*0) + 1*(1*1 - 1*0) = 1*1 + 1*1 = 2 ≠ 0。
公式：|K| = 2 ≠ 0
提示：行列式非零说明矩阵可逆，从而向量组线性无关。
步骤 4/4
目标：得出结论
由于 K 可逆，且 α1, α2, α3 线性无关，所以新向量组线性无关。因此选项 A 正确。
提示：对于其他选项，可类似计算行列式或观察线性关系。

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