kaoyan3basic 线性代数 第386题
📝 题目
### 第386题 386 设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(0,0,5)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}$ 为 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 的线性组合，则 $\boldsymbol{\beta}$ 可能是 （A）$(0,1,0)^{\mathrm{T}}$ ． （B）$(1,3,5)^{\mathrm{T}}$ ． （C）$(5,0,1)^{\mathrm{T}}$ ． （D）$(0,1,5)^{\mathrm{T}}$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$\beta$可由$\alpha_1,\alpha_2$线性表示，则$\beta$形如$(k_1,0,5k_2)^T$，即第二分量为0。 步骤2：选项C$(5,0,1)^T$满足第二分量为0，且$5=5\cdot1+0\cdot0$，$1=0\cdot1+0.2\cdot5$，故可表示。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定β可由α1,α2线性表示的条件
设β = k1α1 + k2α2，则β = (k1, 0, 5k2)^T，即第二分量必须为0。
公式：β = k1α1 + k2α2
提示：线性组合的系数任意，但结果向量的第二分量由α1和α2的第二分量决定，均为0。
步骤 2/3
目标：检查各选项是否满足第二分量为0
选项A：(0,1,0)^T，第二分量为1≠0；选项B：(1,3,5)^T，第二分量为3≠0；选项C：(5,0,1)^T，第二分量为0；选项D：(0,1,5)^T，第二分量为1≠0。只有C满足。
提示：直接观察第二分量是否为0即可快速排除。
步骤 3/3
目标：验证选项C是否确实可由α1,α2线性表示
设(5,0,1)^T = k1(1,0,0)^T + k2(0,0,5)^T，得方程组：k1=5，0=0，5k2=1，解得k1=5，k2=0.2，存在解，故可表示。
提示：只需验证存在系数即可，无需唯一。
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