kaoyan3basic 线性代数 第387题
📝 题目
### 第387题 387 已知 $\boldsymbol{\beta}_{1}=(4,-2, a)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{2}=(7, b, 4)^{\mathrm{T}}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(-2,1,-1)^{\mathrm{T}}$ 线性表示，则 （A）$a=2, b=-3$ ． （B）$a=-2, b=3$ ． （C）$a=2, b=3$ ． （D）$a=-2, b=-3$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$\beta_1,\beta_2$可由$\alpha_1,\alpha_2$线性表示，则矩阵$(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2)$的秩为2。 步骤2：对$(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2)$作初等行变换：$\begin{pmatrix}1&-2&4&7\\2&1&-2&b\\3&-1&a&4\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&-2&4&7\\0&5&-10&b-14\\0&5&a-12&-17\end{pmatrix}$，令第三行与第二行成比例得$a-12=-10$即$a=2$，且$-17=b-14$即$b=3$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定线性表示的条件
由于β1,β2可由α1,α2线性表示，所以向量组α1,α2,β1,β2的秩为2，即矩阵(α1,α2,β1,β2)的秩为2。
公式：秩(α1,α2,β1,β2)=2
提示：线性表示等价于向量组线性相关，且秩不超过向量的个数。
步骤 2/3
目标：构造矩阵并初等行变换
构造矩阵(α1,α2,β1,β2)=⎛⎝1 -2 4 7; 2 1 -2 b; 3 -1 a 4⎞⎠，进行初等行变换：第一行不变，第二行减去第一行的2倍，第三行减去第一行的3倍，得到⎛⎝1 -2 4 7; 0 5 -10 b-14; 0 5 a-12 -17⎞⎠。
公式：行变换：R2-2R1, R3-3R1
提示：初等行变换不改变矩阵的秩。
步骤 3/3
目标：利用秩为2确定参数
因为矩阵的秩为2，所以第三行必须与第二行成比例。比较第二行和第三行的前两列：第二行第二列是5，第三行第二列是5，比例系数为1。因此第三行第一列与第二行第一列成比例，但第一列均为0，自动满足。第三行第三列应等于第二行第三列，即a-12=-10，解得a=2。第三行第四列应等于第二行第四列，即-17=b-14，解得b=3。
公式：a-12=-10 ⇒ a=2; -17=b-14 ⇒ b=3
提示：成比例时，对应元素比值相等，注意检查所有列。
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