kaoyan3basic 线性代数 第388题

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📝 题目

### 第388题 388 若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关， $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性相关，则 （A） $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性表示． （B） $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性表示． （C） $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性表示． （D） $\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示．

💡 答案解析

**答案**：D **解析**： 步骤1：$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4$线性相关，则$\alpha_4$可由$\alpha_1,\alpha_2$线性表示。 步骤2：从而$\alpha_4$可由$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性表示。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：分析向量组线性相关与线性表示的关系
已知 α1, α2, α3 线性无关，α1, α2, α4 线性相关。由线性相关性质，若部分组线性相关，则整体组线性相关；但这里 α1, α2, α4 线性相关，且 α1, α2 线性无关（因为 α1, α2, α3 线性无关，其部分组 α1, α2 必线性无关），所以 α4 可由 α1, α2 线性表示。
公式：若向量组 β1, β2, ..., βs 线性无关，而 β1, β2, ..., βs, γ 线性相关，则 γ 可由 β1, β2, ..., βs 线性表示。
提示：注意：α1, α2 线性无关是隐含条件，因为 α1, α2, α3 线性无关，其任意部分组也线性无关。
步骤 2/2
目标：推导 α4 可由 α1, α2, α3 线性表示
由第一步，α4 可由 α1, α2 线性表示，即存在数 k1, k2 使得 α4 = k1 α1 + k2 α2。那么显然 α4 也可由 α1, α2, α3 线性表示（只需令 α3 的系数为 0）。因此选项 D 正确。
公式：α4 = k1 α1 + k2 α2 + 0·α3
提示：线性表示中，系数可以为零，所以由 α1, α2 表示必然可由 α1, α2, α3 表示。

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