kaoyan3basic 线性代数 第384题

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📝 题目

### 第384题 384 已知四维列向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 （A） $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\alpha}_{4}+\boldsymbol{\alpha}_{1}$. （B） $\boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\alpha}_{4}-\boldsymbol{\alpha}_{1}$. （C） $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\alpha}_{4}+\boldsymbol{\alpha}_{1}$. （D） $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\alpha}_{4}-\boldsymbol{\alpha}_{1}$ ．

💡 答案解析

**答案**：C **解析**： 步骤1：设$(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2-\alpha_3,\alpha_3-\alpha_4,\alpha_4+\alpha_1)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)K$，其中$K=\begin{pmatrix}1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&-1&1&0\\0&0&-1&1\end{pmatrix}$。 步骤2：计算$|K|=2\neq0$，故向量组线性无关。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：将向量组表示为矩阵乘积形式
设新向量组为 β1=α1+α2, β2=α2-α3, β3=α3-α4, β4=α4+α1。则 (β1,β2,β3,β4) = (α1,α2,α3,α4) K，其中 K 是系数矩阵。
公式：(β1,β2,β3,β4) = (α1,α2,α3,α4) K
提示：注意每个新向量是原向量的线性组合，系数构成矩阵的列。
步骤 2/4
目标：写出系数矩阵 K
由 β1=α1+α2 得第一列 (1,1,0,0)^T；β2=α2-α3 得第二列 (0,1,-1,0)^T；β3=α3-α4 得第三列 (0,0,1,-1)^T；β4=α4+α1 得第四列 (1,0,0,1)^T。所以 K = [[1,0,0,1],[1,1,0,0],[0,-1,1,0],[0,0,-1,1]]。
公式：K = \begin{pmatrix}1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&-1&1&0\\0&0&-1&1\end{pmatrix}
提示：注意系数顺序，β4 中 α1 系数为1，α4 系数为1。
步骤 3/4
目标：计算行列式 |K|
计算 |K|：按第一行展开或利用行变换。计算得 |K| = 2 ≠ 0。
公式：|K| = 2
提示：行列式不为零说明 K 可逆，从而新向量组线性无关。
步骤 4/4
目标：得出结论
由于 α1,α2,α3,α4 线性无关，且 K 可逆，则新向量组线性无关。因此选项 C 正确。
提示：线性无关的向量组乘以可逆矩阵后仍线性无关。

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