kaoyan3basic 线性代数 第307题

教材习题

📝 题目

### 第307题 307 已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,3,2,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,-1,4,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(5,1,6,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}=(7, a, 14,3)^{\mathrm{T}}$ ，且 $\boldsymbol{\beta}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，则 $a$ 的取值为 $\_\_\_\_$ ． （0）

💡 答案解析

**答案**：$a \neq 1$ **解析**： 步骤1：$\boldsymbol{\beta}$不能由$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$线性表示，则矩阵$(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3)$的秩小于增广矩阵$(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\beta})$的秩。 步骤2：构造矩阵$\begin{pmatrix}1 & 2 & 5 & 7 \\ 3 & -1 & 1 & a \\ 2 & 4 & 6 & 14 \\ 0 & 1 & 2 & 3\end{pmatrix}$，行变换： $\begin{pmatrix}1 & 2 & 5 & 7 \\ 0 & -7 & -14 & a-21 \\ 0 & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3\end{pmatrix}$，再变换得$\begin{pmatrix}1 & 2 & 5 & 7 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & a-1 \\ 0 & 0 & -4 & 0\end{pmatrix}$。 步骤3：前三个向量秩为3（因有非零三阶子式），当$a-1=0$时增广矩阵秩为3，可表示；当$a-1\neq0$时增广矩阵秩为4，不能表示。故$a\neq1$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：理解线性表示与秩的关系
β不能由α1,α2,α3线性表示，等价于矩阵(α1,α2,α3)的秩小于增广矩阵(α1,α2,α3,β)的秩。
公式：r(α1,α2,α3) < r(α1,α2,α3,β)
提示：线性表示问题通常转化为矩阵秩的比较。
步骤 2/3
目标：构造并化简矩阵
构造矩阵(α1,α2,α3,β)并做初等行变换： 初始矩阵： [1 2 5 7] [3 -1 1 a] [2 4 6 14] [0 1 2 3] 第一行乘以-3加到第二行，乘以-2加到第三行： [1 2 5 7] [0 -7 -14 a-21] [0 0 -4 0] [0 1 2 3] 交换第二行和第四行： [1 2 5 7] [0 1 2 3] [0 0 -4 0] [0 -7 -14 a-21] 第二行乘以7加到第四行： [1 2 5 7] [0 1 2 3] [0 0 -4 0] [0 0 0 a-1]
提示：行变换时注意保持矩阵等价，逐步化简为行阶梯形。
步骤 3/3
目标：分析秩的条件
由行阶梯形矩阵可知，α1,α2,α3对应的前三列有3个非零行（因为第三行有-4非零），所以r(α1,α2,α3)=3。增广矩阵的秩取决于最后一列：若a-1=0，则第四行为全零，增广矩阵秩为3；若a-1≠0，则增广矩阵秩为4。要使β不能由α1,α2,α3线性表示，需要增广矩阵秩大于系数矩阵秩，即a-1≠0，故a≠1。
提示：注意系数矩阵的秩已经为3，增广矩阵的秩可能为3或4。

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