kaoyan3basic 线性代数 第306题
📝 题目
### 第306题 306 已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,3, a)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(1, a+2,-2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}=(1,3,0)^{\mathrm{T}}$ ．若 $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，且表示法不唯一，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$a=1$ **解析**： 步骤1：$\boldsymbol{\beta}$可由$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$线性表示且表示法不唯一，说明向量组$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$线性相关，且$\boldsymbol{\beta}$可由它们线性表示。 步骤2：构造矩阵$(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3|\boldsymbol{\beta})=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & a+2 & 3 \\ 1 & a & -2 & 0\end{pmatrix}$。 步骤3：对前三个向量，行列式$\begin{vmatrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & a+2 \\ 1 & a & -2\end{vmatrix}=1\cdot(3\cdot(-2)-(a+2)\cdot a) -2\cdot(2\cdot(-2)-(a+2)\cdot1) +1\cdot(2\cdot a-3\cdot1)$ $= -6 -a^2-2a -2(-4-a-2) + (2a-3) = -a^2-2a-6 +2a+12 +2a-3 = -a^2+2a+3=0$，解得$a=-1$或$a=3$。 步骤4：代入$a=-1$，增广矩阵行变换得$\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$，秩为2，表示法不唯一。代入$a=3$，增广矩阵行变换得$\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2\end{pmatrix}$，秩为3，无解，不能表示。故$a=-1$。 **难度**：★★★☆☆