kaoyan3basic 线性代数 第305题
📝 题目
### 第305题 305 已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}-3 \boldsymbol{\alpha}_{3}, a \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+2 \boldsymbol{\alpha}_{3}, 2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+3 \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 亦线性无关，则 $a$ 的取值为 $\_\_\_\_$ ． □
💡 答案解析
**答案**：$a \neq 2$ **解析**： 步骤1：设$\boldsymbol{\beta}_1=\boldsymbol{\alpha}_1-3\boldsymbol{\alpha}_3$，$\boldsymbol{\beta}_2=a\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+2\boldsymbol{\alpha}_3$，$\boldsymbol{\beta}_3=2\boldsymbol{\alpha}_1+3\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3$。线性无关则系数矩阵行列式非零。 步骤2：系数矩阵$\begin{pmatrix}1 & a & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ -3 & 2 & 1\end{pmatrix}$，行列式$=1\cdot(1\cdot1-3\cdot2) - a\cdot(0\cdot1-3\cdot(-3)) + 2\cdot(0\cdot2-1\cdot(-3)) = (1-6) - a\cdot(0+9) + 2\cdot(0+3) = -5 -9a +6 = 1-9a$。 步骤3：令$1-9a \neq 0$，得$\displaystyle a \neq \frac{1}{9}$。 **难度**：★★★☆☆