kaoyan3basic 线性代数 第304题
📝 题目
### 第304题 304 已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+a \boldsymbol{\alpha}_{2}, 3 \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性相关，则 $a=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$a=3$ **解析**： 步骤1：设$\boldsymbol{\beta}_1=\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3$，$\boldsymbol{\beta}_2=\boldsymbol{\alpha}_1+a\boldsymbol{\alpha}_2$，$\boldsymbol{\beta}_3=3\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3$。线性相关则存在不全为零的系数使线性组合为零。 步骤2：考虑矩阵$(\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3)=(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3)\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 2 & a & 3 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}$。由于$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$线性无关，$\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3$线性相关当且仅当系数矩阵行列式为零。 步骤3：$\begin{vmatrix}1 & 1 & 0 \\ 2 & a & 3 \\ 1 & 0 & 1\end{vmatrix}=1\cdot(a\cdot1-3\cdot0) -1\cdot(2\cdot1-3\cdot1) +0 = a - (2-3)=a+1=0$，解得$a=-1$。 **难度**：★★★☆☆