kaoyan3basic 线性代数 第303题
📝 题目
### 第303题 303 已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(a+1,1, a)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(a,-2,2-a)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(a-1,-3,4-a)^{\mathrm{T}}$ 线性相关，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$a=0$或$a=2$ **解析**： 步骤1：向量组线性相关，则矩阵$\begin{pmatrix}a+1 & a & a-1 \\ 1 & -2 & -3 \\ a & 2-a & 4-a\end{pmatrix}$的行列式为零。 步骤2：行列式$=(a+1)[(-2)(4-a)-(-3)(2-a)] - a[1\cdot(4-a)-(-3)\cdot a] + (a-1)[1\cdot(2-a)-(-2)\cdot a]$ $=(a+1)(-8+2a+6-3a) - a(4-a+3a) + (a-1)(2-a+2a)$ $=(a+1)(-2-a) - a(4+2a) + (a-1)(2+a)$ $= -2a - a^2 -2 - a -4a -2a^2 + 2a + a^2 -2 - a$ $= -2a^2 -6a -4 = -2(a^2+3a+2)= -2(a+1)(a+2)=0$，解得$a=-1$或$a=-2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将向量组线性相关转化为矩阵行列式为零
向量组线性相关，则矩阵 (α1, α2, α3) 的行列式为零，即 |A| = 0，其中 A = [[a+1, a, a-1], [1, -2, -3], [a, 2-a, 4-a]]。
公式：|A| = 0
提示：线性相关与行列式为零等价，前提是向量个数等于维数。
步骤 2/4
目标：计算行列式并化简
按第一行展开：|A| = (a+1)[(-2)(4-a) - (-3)(2-a)] - a[1*(4-a) - (-3)*a] + (a-1)[1*(2-a) - (-2)*a]。计算各子式：(-2)(4-a) = -8+2a，(-3)(2-a) = -6+3a，差为 -8+2a - (-6+3a) = -2 - a；1*(4-a) = 4-a，(-3)*a = -3a，差为 4-a - (-3a) = 4+2a；1*(2-a) = 2-a，(-2)*a = -2a，差为 2-a - (-2a) = 2+a。代入得：|A| = (a+1)(-2-a) - a(4+2a) + (a-1)(2+a)。
公式：行列式展开公式
提示：注意符号：展开时第二项系数为负。
步骤 3/4
目标：展开并合并同类项
展开各项：(a+1)(-2-a) = -2a - a^2 -2 - a = -a^2 -3a -2；-a(4+2a) = -4a -2a^2；(a-1)(2+a) = 2a + a^2 -2 - a = a^2 + a -2。求和：(-a^2 -3a -2) + (-4a -2a^2) + (a^2 + a -2) = (-a^2 -2a^2 + a^2) + (-3a -4a + a) + (-2 -2) = -2a^2 -6a -4。
公式：多项式加法
提示：合并时注意各项系数。
步骤 4/4
目标：解方程求 a
令 -2a^2 -6a -4 = 0，两边除以 -2 得 a^2 + 3a + 2 = 0，因式分解 (a+1)(a+2)=0，解得 a = -1 或 a = -2。
公式：a^2 + 3a + 2 = 0
提示：注意原答案有误，正确解为 a=-1 或 a=-2。
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