kaoyan3basic 线性代数 第302题
📝 题目
### 第302题 302 （1997，数二）已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,-1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,0, t, 0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(0,-4,5, t)^{\mathrm{T}}$线性无关，则 $t$ 的取值为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$t \neq 2$ **解析**： 步骤1：向量组线性无关，则矩阵$\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & -4 \\ -1 & t & 5 \\ 1 & 0 & t\end{pmatrix}$的秩为3。 步骤2：计算前三行构成的三阶子式：$\begin{vmatrix}1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & -4 \\ -1 & t & 5\end{vmatrix}=1\cdot(0\cdot5 - (-4)\cdot t) -2\cdot(2\cdot5 - (-4)\cdot(-1)) +0 = 4t -2\cdot(10-4)=4t-12$。令其不为零得$t\neq3$。 步骤3：考虑包含第四行的子式：$\begin{vmatrix}1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & -4 \\ 1 & 0 & t\end{vmatrix}=1\cdot(0\cdot t - (-4)\cdot0) -2\cdot(2\cdot t - (-4)\cdot1) +0 = -2(2t+4)=-4t-8$，令其不为零得$t\neq-2$。 步骤4：综合，当$t\neq3$且$t\neq-2$时秩为3，但题目要求线性无关，故$t$取值为$t\neq3$且$t\neq-2$。原答案$t\neq2$有误，正确应为$t\neq3$且$t\neq-2$。 **难度**：★★★☆☆