kaoyan3basic 线性代数 第301题
📝 题目
### 第301题 301 已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(3,-1,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(2,3, t)^{\mathrm{T}}$ 线性相关，则 $t=$ $\_\_\_\_$。 Q约错笔记
💡 答案解析
**答案**：$t=5$ **解析**： 步骤1：向量组线性相关，则行列式为零。计算矩阵$\begin{pmatrix}1 & 3 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \\ 3 & 2 & t\end{pmatrix}$的行列式。 步骤2：行列式$=1\cdot(-1\cdot t - 3\cdot2) - 3\cdot(2\cdot t - 3\cdot3) + 2\cdot(2\cdot2 - (-1)\cdot3) = -t-6 -6t+27 +14 = -7t+35=0$，解得$t=5$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：根据线性相关条件，向量组构成的矩阵行列式为零
将三个列向量组成矩阵 A = [α1, α2, α3] = [[1,3,2],[2,-1,3],[3,2,t]]，计算行列式 det(A) = 0。
公式：det(A) = 0
提示：线性相关等价于向量组秩小于向量个数，对于三个三维向量，行列式为零是充要条件。
步骤 2/3
目标：计算三阶行列式
按第一行展开：det = 1 * ((-1)*t - 3*2) - 3 * (2*t - 3*3) + 2 * (2*2 - (-1)*3) = (-t-6) - 3*(2t-9) + 2*(4+3) = -t-6 -6t+27 +14 = -7t+35。
公式：行列式展开公式
提示：注意符号：第二项系数为-3，第三项系数为+2。
步骤 3/3
目标：解方程求t
令 -7t+35=0，解得 t=5。
公式：-7t+35=0
提示：移项时注意符号。
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