kaoyan3basic 线性代数 第300题
📝 题目
### 第300题 300 已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & a+2 \\ 1 & a & -2\end{array}\right]$ 和 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & a \\ -1 & a & 1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right]$ 不等价，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
好的，我们先分析一下题目。题目说两个矩阵不等价，在矩阵理论中，矩阵等价通常指可以通过初等行变换和列变换相互转化，而等价的一个重要条件是它们有相同的秩。所以这里“不等价”就意味着秩不相等。我们需要找到使两个矩阵秩不同的参数 a。
我们先写出矩阵 A 和 B：
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & a+2 \\ 1 & a & -2 \end{pmatrix} $$
$$ B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ -1 & a & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} $$
第一步，先求 A 的行列式，看什么时候秩小于3。 计算 A 的行列式：
$$ \det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix}3 & a+2 \\ a & -2\end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix}2 & a+2 \\ 1 & -2\end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix}2 & 3 \\ 1 & a\end{vmatrix} $$
先算每个小行列式： 第一个：$3 \cdot (-2) - (a+2) \cdot a = -6 - a(a+2) = -6 - a^2 - 2a$ 第二个：$2 \cdot (-2) - (a+2) \cdot 1 = -4 - (a+2) = -a - 6$ 第三个：$2 \cdot a - 3 \cdot 1 = 2a - 3$
代入：
$$ \det(A) = 1 \cdot (-a^2 - 2a - 6) - 2 \cdot (-a - 6) + 1 \cdot (2a - 3) $$ $$ = -a^2 - 2a - 6 + 2a + 12 + 2a - 3 $$ $$ = -a^2 + ( -2a + 2a + 2a ) + (-6 + 12 - 3) $$ $$ = -a^2 + 2a + 3 $$
所以 $\det(A) = -(a^2 - 2a - 3) = -(a-3)(a+1)$。 因此当 $a = 3$ 或 $a = -1$ 时，A 的行列式为0，秩小于3；否则秩为3。
第二步，求 B 的行列式：
$$ \det(B) = 1 \cdot \begin{vmatrix}a & 1 \\ -1 & 2\end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix}-1 & 1 \\ 1 & 2\end{vmatrix} + a \cdot \begin{vmatrix}-1 & a \\ 1 & -1\end{vmatrix} $$
计算： 第一个：$a \cdot 2 - 1 \cdot (-1) = 2a + 1$ 第二个：$(-1)\cdot 2 - 1\cdot 1 = -2 - 1 = -3$，前面有负号，所以 $-1 \cdot (-3) = +3$？注意公式是减去1乘这个子式，所以是 $-1 \cdot (-3) = 3$。 第三个：$(-1)\cdot (-1) - a\cdot 1 = 1 - a$，乘 a 得 $a(1-a) = a - a^2$
总和： $$ \det(B) = (2a+1) + 3 + (a - a^2) = -a^2 + 3a + 4 $$
即 $\det(B) = -(a^2 - 3a - 4) = -(a-4)(a+1)$。 所以当 $a=4$ 或 $a=-1$ 时，B 的行列式为0，秩小于3；否则秩为3。
第三步，比较秩。 - 如果 a 不是 -1、3、4，则 A 和 B 的秩都是3，等价，不符合题意。 - 如果 a = 3：A 的秩小于3，B 的秩为3（因为3不是B的使行列式为0的值），秩不同，不等价。 - 如果 a = 4：A 的秩为3，B 的秩小于3，不等价。 - 如果 a = -1：A 的行列式为0，B 的行列式也为0，此时需要进一步检查秩是否相同，可能相等也可能不等。我们需要验证 a=-1 时秩是否相同。
当 a = -1：
A 变为： $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & -2 \end{pmatrix} $$ 第一行乘-2加第二行：第二行变为 (0, -1, -1)；第一行乘-1加第三行：第三行变为 (0, -3, -3)。可见第二行和第三行成比例，秩为2。
B 变为： $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} $$ 第一行加第二行：第二行变为 (0,0,0)，所以秩最多为2。去掉第二行，看剩下的两行： 第一行 (1,1,-1)，第三行 (1,-1,2)，不成比例，所以秩也为2。
因此 a=-1 时秩相等（都是2），等价，不符合题意。
所以使它们不等价的 a 是 3 或 4。题目是填空题，通常只填一个值，但这里有两个可能。我们再看原题是否隐含唯一解，通常这种题会有一个参数使得秩不同，这里两个值都成立。不过有时题目会要求填所有可能值，或者只要求一个。如果只填一个，常见做法是填第一个求出的，但严谨应写两个。结合常见题型，这里可能期望的答案是 **3 或 4**，但若只填一个，可能是3。
我们按常规填一个答案，但为了完整，我给出两个。
**答案**：3 或 4 **解析**：矩阵等价则秩相等。分别计算两个矩阵的行列式，得到A的行列式为 $-(a-3)(a+1)$，B的行列式为 $-(a-4)(a+1)$。当 $a=3$ 或 $a=4$ 时，一个矩阵满秩而另一个不满秩，秩不同，故不等价。当 $a=-1$ 时两者秩均为2，等价，故排除。 **难度**：★☆☆☆☆