kaoyan3basic 线性代数 第299题
📝 题目
### 第299题 299 设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & a\end{array}\right]$ 与 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 4 & -1 & 2\end{array}\right]$ 等价，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
好的，我们先分析题目。两个矩阵等价，意味着它们有相同的秩。所以我们先求矩阵 B 的秩，然后令 A 的秩与之相等，从而解出 a。
先看矩阵 B：
$$ B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 4 & -1 & 2 \end{pmatrix} $$
我们做行变换： 第二行减去第一行的2倍： (2-2, -1-0, 0-2) = (0, -1, -2) 第三行减去第一行的4倍： (4-4, -1-0, 2-4) = (0, -1, -2)
得到： $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & -1 & -2 \end{pmatrix} $$
第三行减去第二行，变成全零行： $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
所以 B 的秩为 2。
现在看矩阵 A：
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & a \end{pmatrix} $$
做行变换：第二行加上第一行： (-1+1, -2+0, 2+1) = (0, -2, 3) 得到： $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 3 \\ 0 & 2 & a \end{pmatrix} $$
第三行加上第二行（因为第二行现在是 -2，第三行是 2，相加消去）： (0, 2+(-2), a+3) = (0, 0, a+3)
所以矩阵变为： $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & a+3 \end{pmatrix} $$
要使得秩为 2，必须让第三行全为零，即 a+3 = 0，所以 a = -3。
**答案**：-3 **解析**：矩阵等价则秩相等，先求B的秩为2，再对A做行变换，令其第三行全零得到a=-3。 **难度**：★☆☆☆☆