kaoyan3basic 线性代数 第298题
📝 题目
### 第298题 298 四阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 满足 $2 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}+6 \boldsymbol{E}$ ，若 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 0\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{B}=$ $\_\_\_\_$ ． □
💡 答案解析
好的，我们先整理一下题目信息，然后一步步推导出矩阵 B。题目是四阶矩阵方程，并且给出了具体的矩阵 A。
**第一步：化简矩阵方程** 已知： $$ 2 A B A^{-1} = A B + 6E $$ 两边同时左乘 $ A^{-1} $： $$ 2 B A^{-1} = B + 6 A^{-1} $$ 再右乘 A： $$ 2 B = B A + 6E $$ 于是得到： $$ 2B - BA = 6E $$ 即： $$ B(2E - A) = 6E $$ 所以： $$ B = 6 (2E - A)^{-1} $$
**第二步：计算矩阵 A 的具体形式** A 是分块对角矩阵： $$ A = \begin{pmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{pmatrix} $$ 其中： $$ A_1 = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 1 & 3\end{pmatrix}, \quad A_2 = \begin{pmatrix}0 & 2 \\ -1 & 0\end{pmatrix} $$
**第三步：分别求两个分块的逆** 先算 $ 2E - A $： 对于第一块： $$ 2E_2 - A_1 = \begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 1 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -2 \\ -1 & -1\end{pmatrix} $$ 它的逆矩阵： 行列式 = $1 \cdot (-1) - (-2)(-1) = -1 - 2 = -3$ 所以逆为： $$ \frac{1}{-3} \begin{pmatrix}-1 & 2 \\ 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\ -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\end{pmatrix} $$
对于第二块： $$ 2E_2 - A_2 = \begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 & 2 \\ -1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & -2 \\ 1 & 2\end{pmatrix} $$ 行列式 = $2\cdot 2 - (-2)\cdot 1 = 4 + 2 = 6$ 逆矩阵： $$ \frac{1}{6} \begin{pmatrix}2 & 2 \\ -1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3}\end{pmatrix} $$
**第四步：乘以 6 得到 B** 第一块： $$ 6 \times \begin{pmatrix}\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\ -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & -4 \\ -2 & -2\end{pmatrix} $$ 第二块： $$ 6 \times \begin{pmatrix}\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 2 \\ -1 & 2\end{pmatrix} $$
**第五步：组合成四阶矩阵** 所以： $$ B = \begin{pmatrix} 2 & -4 & 0 & 0 \\ -2 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix} $$
**最终答案**： $$ \boxed{\begin{pmatrix}2 & -4 & 0 & 0 \\ -2 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 2\end{pmatrix}} $$
**解析**：先化简矩阵方程得到 B 与 A 的关系，利用分块矩阵分别求逆，再乘以系数得到结果。 **难度**：★★☆☆☆