kaoyan3basic 线性代数 第297题
📝 题目
### 第297题 297 若 $\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 2 & 2\end{array}\right] \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 4 & 6\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{A}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
好的，我们先分析题目给出的矩阵方程，然后一步步解出未知矩阵A。题目中给的方程是：
$$ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{bmatrix} $$
我们设矩阵 $A$ 是 $2 \times 2$ 的未知矩阵，记为 $$ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $$
那么左边相乘得到： $$ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a + c & b + d \\ 2a + 2c & 2b + 2d \end{bmatrix} $$
这个结果要等于右边的矩阵： $$ \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{bmatrix} $$
于是得到方程组： 1. $a + c = 2$ 2. $b + d = 3$ 3. $2a + 2c = 4$ 4. $2b + 2d = 6$
注意第3个方程其实就是第一个方程两边乘以2，第4个方程是第二个方程两边乘以2，所以实际上只有两个独立条件： $$ a + c = 2,\quad b + d = 3 $$
这意味着 $a$ 和 $c$ 只要和为2即可，$b$ 和 $d$ 只要和为3即可，没有唯一解。题目可能隐含要求我们给出一个通解形式，或者题目设计时默认我们取最简单的形式，比如令自由变量为0。
通常这类填空题，若没有额外说明，我们可以取 $c=0$，则 $a=2$；取 $d=0$，则 $b=3$，得到： $$ A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} $$
也可以取其他形式，但最简单的非零元素尽量少的形式就是上面这个。
**答案**：$\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$
**解析**：由矩阵乘法得到线性方程组，发现系数矩阵行成比例，导致解不唯一，取自由变量为零得到特解。
**难度**：★☆☆☆☆