kaoyan3basic 线性代数 第296题
📝 题目
### 第296题 296 已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,2,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(-1,1,0)^{\mathrm{T}}$ 且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}=(2,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}= (-1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{3}=(3,-4)^{\mathrm{T}}$ ，则 $\boldsymbol{A}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
好的，我们先根据题目条件来一步步推理。题目中给出了三个三维向量 α₁、α₂、α₃ 以及它们经过某个矩阵 A 作用后的结果，但注意 A 作用后得到的是二维向量，因此可以判断 A 是一个 2×3 的矩阵。我们要求出这个矩阵的具体数值。
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**第一步：设未知矩阵** 设 $$ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} $$
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**第二步：根据条件列方程** 已知 $$ \alpha_1 = (1,0,0)^T $$ 那么 $$ A\alpha_1 = \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} $$ 所以得到 $$ a_{11} = 2,\quad a_{21} = 1 $$
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**第三步：利用 α₂** $$ \alpha_2 = (1,2,-1)^T $$ 计算 $$ A\alpha_2 = \begin{pmatrix} a_{11}\cdot1 + a_{12}\cdot2 + a_{13}\cdot(-1) \\ a_{21}\cdot1 + a_{22}\cdot2 + a_{23}\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 2a_{12} - a_{13} \\ 1 + 2a_{22} - a_{23} \end{pmatrix} $$ 已知结果等于 $(-1,1)^T$，所以有方程组： $$ 2 + 2a_{12} - a_{13} = -1 \quad\Rightarrow\quad 2a_{12} - a_{13} = -3 \tag{1} $$ $$ 1 + 2a_{22} - a_{23} = 1 \quad\Rightarrow\quad 2a_{22} - a_{23} = 0 \tag{2} $$
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**第四步：利用 α₃** $$ \alpha_3 = (-1,1,0)^T $$ 计算 $$ A\alpha_3 = \begin{pmatrix} a_{11}\cdot(-1) + a_{12}\cdot1 + a_{13}\cdot0 \\ a_{21}\cdot(-1) + a_{22}\cdot1 + a_{23}\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 + a_{12} \\ -1 + a_{22} \end{pmatrix} $$ 已知结果等于 $(3,-4)^T$，所以： $$ -2 + a_{12} = 3 \quad\Rightarrow\quad a_{12} = 5 $$ $$ -1 + a_{22} = -4 \quad\Rightarrow\quad a_{22} = -3 $$
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**第五步：回代求剩余未知数** 由 (1)： $$ 2(5) - a_{13} = -3 \quad\Rightarrow\quad 10 - a_{13} = -3 \quad\Rightarrow\quad a_{13} = 13 $$ 由 (2)： $$ 2(-3) - a_{23} = 0 \quad\Rightarrow\quad -6 - a_{23} = 0 \quad\Rightarrow\quad a_{23} = -6 $$
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**第六步：写出矩阵** 所以 $$ A = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 13 \\ 1 & -3 & -6 \end{pmatrix} $$
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**答案**： $$ \boxed{\begin{pmatrix}2 & 5 & 13 \\ 1 & -3 & -6\end{pmatrix}} $$
**解析**：通过设未知矩阵元素，利用三个已知的映射关系列出线性方程组，依次解出所有元素，最终得到矩阵。
**难度**：★☆☆☆☆