kaoyan3basic 线性代数 第295题
📝 题目
### 第295题 295 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]$ ，又 $\boldsymbol{B A}=\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{B}$ ，则 $\boldsymbol{B}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
好的，我们先根据题目条件一步步推理。题目中给出了矩阵 A，以及矩阵方程 BA = A + 2B，要求解 B。我们先整理这个方程。
**第一步：将方程化为标准形式** 已知 $$ BA = A + 2B $$ 把含有 B 的项移到一边： $$ BA - 2B = A $$ 提取公因子（注意矩阵乘法顺序）： $$ B(A - 2I) = A $$ 这里 I 是单位矩阵。
**第二步：判断 A - 2I 是否可逆** A 是下三角矩阵： $$ A = \begin{pmatrix}3 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix} $$ 那么 $$ A - 2I = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} $$ 显然它的行列式为 1（下三角矩阵，对角线乘积），可逆。
**第三步：求逆矩阵** 这个矩阵的逆很容易求，因为它是初等矩阵形式： $$ (A - 2I)^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} $$ 我们可以验证一下： $$ \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} = I $$
**第四步：解出 B** 由 $$ B (A - 2I) = A $$ 两边右乘 $(A - 2I)^{-1}$： $$ B = A (A - 2I)^{-1} $$ 代入计算： $$ B = \begin{pmatrix}3 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} $$ 先算第一行： (3×1 + 0×(-2) + 0×0, 3×0+0×1+0×0, 3×0+0×0+0×1) = (3, 0, 0) 第二行： (2×1 + 3×(-2) + 0×0, 2×0+3×1+0×0, 2×0+3×0+0×1) = (2 - 6, 3, 0) = (-4, 3, 0) 第三行： (0×1+0×(-2)+3×0, 0×0+0×1+3×0, 0×0+0×0+3×1) = (0, 0, 3)
所以 $$ B = \begin{pmatrix}3 & 0 & 0 \\ -4 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix} $$
**第五步：检查** 我们可快速验证 BA 是否等于 A+2B： BA 第一列：B乘A第一列 (3,2,0)^T → (9, -12+6, 0) = (9, -6, 0) A+2B 第一列：A第一列 (3,2,0) + 2B第一列 (6, -8, 0) = (9, -6, 0)，一致。其他列同理可验证。
所以最终答案就是上面这个矩阵。
**答案**： $$ \begin{pmatrix}3 & 0 & 0 \\ -4 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix} $$
**解析**：由 BA = A + 2B 移项得 B(A - 2I) = A，求出 A - 2I 的逆矩阵后右乘即得 B。
**难度**：★☆☆☆☆