kaoyan3basic 线性代数 第294题
📝 题目
### 第294题 294 设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵，且 $|\boldsymbol{A}|=3$ ，将 $\boldsymbol{A}$ 的第二列的 -5 倍加到第一列得到矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，则 $\boldsymbol{A}^{\cdot} \boldsymbol{B} \mid=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
好的，我们先根据题意一步步推理，然后给出最终答案。题目中涉及矩阵的初等列变换与行列式的关系，以及伴随矩阵的性质。
**第一步：理解列变换与行列式的关系** 将矩阵 A 的第二列的 -5 倍加到第一列，这是一个初等列变换，对应的初等矩阵是 $$ E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ 并且有 $$ B = A E $$ 由于初等矩阵 E 的行列式为 1（因为它是把一列的倍数加到另一列，不改变行列式的值），所以 $$ |B| = |A| \cdot |E| = 3 \times 1 = 3 $$
**第二步：题目要求的是** 题目中写的是“则 $\boldsymbol{A}^{\cdot} \boldsymbol{B} \mid=$”，这里符号可能是排版问题，通常“A·B”可能是指伴随矩阵与B相乘，或者是指行列式。结合常见题型，这里应该是求 $$ |A^* B| $$ 其中 $A^*$ 表示 A 的伴随矩阵。
**第三步：伴随矩阵的行列式性质** 对于 3 阶矩阵，有 $$ |A^*| = |A|^{n-1} = |A|^{2} = 3^2 = 9 $$ 因此 $$ |A^* B| = |A^*| \cdot |B| = 9 \times 3 = 27 $$
所以最终答案为 27。
**答案**：27 **解析**：由列变换得 B = AE，|B| = |A| = 3；伴随矩阵的行列式 |A*| = |A|^{2} = 9，故 |A*B| = 9×3 = 27。 **难度**：★☆☆☆☆