kaoyan3basic 线性代数 第308题
📝 题目
### 第308题 308 已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,4,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,7,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(0,1, a)^{\mathrm{T}}$ 可以表示任意一个三维向量，则 $a$ 的取值为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$a \neq 1$ **解析**： 步骤1：$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$可以表示任意一个三维向量，则它们线性无关，即矩阵行列式非零。 步骤2：行列式$\begin{vmatrix}1 & 2 & 0 \\ 4 & 7 & 1 \\ 2 & 3 & a\end{vmatrix}=1\cdot(7a-1\cdot3) -2\cdot(4a-1\cdot2) +0 = 7a-3 -8a+4 = 1-a$。 步骤3：令$1-a \neq 0$，得$a \neq 1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：理解题意，转化为线性无关条件
α1, α2, α3 可以表示任意一个三维向量，意味着它们构成三维空间的一组基，即线性无关。因此，以它们为列向量的矩阵行列式不为零。
提示：线性无关与行列式非零等价。
步骤 2/3
目标：计算行列式
计算矩阵 (α1, α2, α3) 的行列式：|1 2 0; 4 7 1; 2 3 a| = 1*(7a - 1*3) - 2*(4a - 1*2) + 0 = 7a - 3 - 8a + 4 = 1 - a。
公式：行列式展开公式
提示：按第一行展开，注意符号。
步骤 3/3
目标：求解参数条件
令行列式不为零：1 - a ≠ 0，解得 a ≠ 1。
提示：注意是“不等于”条件。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。