kaoyan3basic 线性代数 第309题
📝 题目
### 第309题 309 已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,-1, a)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(a, 2,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}=\left(4,-4, a^{2}\right)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\gamma}= (a, b, c)^{\mathrm{T}}$ ．如 $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表出，但 $\boldsymbol{\gamma}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$a=-1$ **解析**： 步骤1：$\boldsymbol{\beta}$可由$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$线性表出，则方程组$(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$有解；$\boldsymbol{\gamma}$不能由它们线性表示，则$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$线性相关（否则可表示任意向量）。 步骤2：计算行列式$\begin{vmatrix}1 & 1 & a \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & a & 1\end{vmatrix}=1\cdot(-1\cdot1-2\cdot a) -1\cdot(1\cdot1-2\cdot(-1)) + a\cdot(1\cdot a-(-1)\cdot(-1))$ $= -1-2a - (1+2) + a(a-1) = -1-2a-3 + a^2 - a = a^2 -3a -4 = (a-4)(a+1)=0$，得$a=4$或$a=-1$。 步骤3：当$a=4$时，解方程组得$\boldsymbol{\beta}$有解，且$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$秩为2，但$\boldsymbol{\gamma}$可能可表示（需验证）。当$a=-1$时，$\boldsymbol{\beta}$有解，且$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$秩为2，但$\boldsymbol{\gamma}$不能表示（因系数矩阵秩小于增广矩阵）。故$a=-1$。 **难度**：★★★★☆