kaoyan3basic 线性代数 第310题
📝 题目
### 第310题 310 已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(a, a, 1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(a, 1, a)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(1, a, a)^{\mathrm{T}}$ 的秩是 2 ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle a=-\frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：向量组秩为2，则矩阵$\begin{pmatrix}a & a & 1 \\ a & 1 & a \\ 1 & a & a\end{pmatrix}$的行列式为零且存在二阶非零子式。 步骤2：行列式$=a(1\cdot a - a\cdot a) - a(a\cdot a - a\cdot1) + 1(a\cdot a - 1\cdot1) = a(a-a^2) - a(a^2-a) + (a^2-1) = a^2(1-a) - a^2(a-1) + a^2-1 = a^2(1-a+a-1) + a^2-1 = a^2-1=0$，得$a=1$或$a=-1$。 步骤3：当$a=1$时，矩阵所有元素为1，秩为1，不合题意。当$a=-1$时，矩阵为$\begin{pmatrix}-1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1\end{pmatrix}$，行列式为0，且二阶子式$\begin{vmatrix}-1 & -1 \\ -1 & 1\end{vmatrix}=-2\neq0$，秩为2。故$a=-1$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用秩为2的条件，得到向量组构成的矩阵行列式为0
向量组秩为2，则矩阵A = (α1, α2, α3)的行列式为零，且存在二阶非零子式。计算行列式|A|。
公式：|A| = a(1·a - a·a) - a(a·a - a·1) + 1(a·a - 1·1) = a^2 - 1
提示：行列式按第一行展开，注意符号。
步骤 2/4
目标：解行列式方程，得到a的可能取值
令|A|=0，即a^2-1=0，解得a=1或a=-1。
公式：a^2 - 1 = 0 ⇒ a = ±1
提示：注意解方程时不要遗漏。
步骤 3/4
目标：检验a=1是否满足秩为2
当a=1时，矩阵所有元素均为1，秩为1，不满足秩为2的条件，故舍去。
提示：代入验证，避免增根。
步骤 4/4
目标：检验a=-1是否满足秩为2
当a=-1时，矩阵为[[-1,-1,1],[-1,1,-1],[1,-1,-1]]，行列式为0，且存在二阶子式|(-1,-1);(-1,1)| = -2 ≠ 0，故秩为2。
公式：二阶子式 = (-1)*1 - (-1)*(-1) = -2 ≠ 0
提示：只需找到一个非零二阶子式即可。
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