kaoyan3basic 线性代数 第311题
📝 题目
### 第311题 311 向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(2,1,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,2,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(3,3,4)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{4}=(5,1,8)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{5}=(0,0$, 2）${ }^{\mathrm{T}}$ 的一个极大线性无关组是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_5$（或等价组） **解析**： 步骤1：构造矩阵$(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4,\boldsymbol{\alpha}_5)=\begin{pmatrix}2 & 1 & 3 & 5 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 4 & 8 & 2\end{pmatrix}$，行变换： $\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 5 & 0 \\ 3 & 1 & 4 & 8 & 2\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & -3 & 3 & 0 \\ 0 & -5 & -5 & 5 & 2\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2\end{pmatrix}$。 步骤2：主元列对应第1、2、5列，故一个极大线性无关组为$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_5$。 **难度**：★★☆☆☆