kaoyan3basic 线性代数 第312题
📝 题目
### 第312题 312 已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 是向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,4,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(2, a,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(a+1,3,1)^{\mathrm{T}}$ 的一个极大线性无关组，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$a \neq 2$且$a \neq -1$ **解析**： 步骤1：$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$是极大无关组，则$\boldsymbol{\alpha}_3$可由$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$线性表示，且$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$线性无关。 步骤2：$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$线性无关，则$\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 4 & a\end{vmatrix}=a-8\neq0$，得$a\neq8$。 步骤3：$\boldsymbol{\alpha}_3$可由$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$表示，则矩阵$(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3)$的秩为2，即行列式$\begin{vmatrix}1 & 2 & a+1 \\ 4 & a & 3 \\ 3 & -1 & 1\end{vmatrix}=0$。 计算行列式：$1\cdot(a\cdot1-3\cdot(-1)) -2\cdot(4\cdot1-3\cdot3) + (a+1)\cdot(4\cdot(-1)-a\cdot3)$ $= a+3 -2(4-9) + (a+1)(-4-3a) = a+3 +10 + (a+1)(-4-3a) = a+13 -4a-3a^2-4-3a = -3a^2-6a+9=0$，解得$a=1$或$a=-3$。 步骤4：结合$a\neq8$，得$a=1$或$a=-3$。 **难度**：★★★☆☆