kaoyan3basic 线性代数 第313题
📝 题目
### 第313题 313 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & a & 4 \\ 1 & 0 & 2 & a \\ -1 & a & 1 & 0\end{array}\right], r(\boldsymbol{A})=3$ ，则 $a$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$a \neq 2$且$a \neq -1$ **解析**： 步骤1：矩阵$A$的秩为3，则所有四阶子式（若有）为零，且存在三阶非零子式。$A$是$3\times4$矩阵，秩为3即行满秩，也即行向量组线性无关。 步骤2：对$A$行变换：$\begin{pmatrix}1 & 1 & a & 4 \\ 1 & 0 & 2 & a \\ -1 & a & 1 & 0\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}1 & 1 & a & 4 \\ 0 & -1 & 2-a & a-4 \\ 0 & a+1 & 1+a & 4\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}1 & 1 & a & 4 \\ 0 & -1 & 2-a & a-4 \\ 0 & 0 & (a+1)(2-a)+(1+a) & (a+1)(a-4)+4\end{pmatrix}$。 步骤3：第三行化简：$(a+1)(2-a)+(1+a) = (a+1)(2-a+1) = (a+1)(3-a)$，常数项$(a+1)(a-4)+4 = a^2-3a-4+4 = a(a-3)$。 步骤4：秩为3要求第三行非零，即$(a+1)(3-a) \neq 0$或$a(a-3) \neq 0$，但需整体非零行。当$(a+1)(3-a)=0$时，若$a=-1$，第三行变为$0,0,0,4$，秩为3；若$a=3$，第三行变为$0,0,0,0$，秩为2。故$a \neq 3$。 **难度**：★★★☆☆