kaoyan3basic 线性代数 第315题
📝 题目
### 第315题 315 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ 是三阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 是三维列向量，其中 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 坐标不成比例， $\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表出，则 $r(\boldsymbol{A})=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$r(A)=2$ **解析**： 步骤1：$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$坐标不成比例，故它们线性无关，$r(A)\geq2$。 步骤2：$\boldsymbol{\alpha}_4$不能由$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$线性表示，说明$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$线性相关（否则可表示任意三维向量），故$r(A)\leq2$。 步骤3：综合得$r(A)=2$。 **难度**：★★☆☆☆