kaoyan3basic 线性代数 第316题
📝 题目
### 第316题 316 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $5 \times 4$ 矩阵，若 $\boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}$ 是齐次方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系，则 $r\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ． □
💡 答案解析
**答案**：$r(A^{\mathrm{T}})=2$ **解析**： 步骤1：$\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2$是齐次方程组$A\boldsymbol{x}=0$的基础解系，则解空间维数为2，即$n-r(A)=2$，其中$n=4$，故$r(A)=2$。 步骤2：矩阵转置秩不变，$r(A^{\mathrm{T}})=r(A)=2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：确定矩阵A的秩
已知η1, η2是齐次方程组Ax=0的基础解系，则解空间维数为2。根据线性方程组解的理论，解空间维数 = n - r(A)，其中n=4，所以4 - r(A) = 2，解得r(A)=2。
公式：解空间维数 = n - r(A)
提示：基础解系所含向量个数等于解空间维数。
步骤 2/2
目标：计算转置矩阵的秩
矩阵转置不改变秩，即r(A^T)=r(A)=2。
公式：r(A^T) = r(A)
提示：转置秩不变是重要性质。
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