kaoyan3basic 线性代数 第319题
📝 题目
### 第319题 319 已知齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{cl}a x_{1}-3 x_{2}+3 x_{3} & =0 \\ x_{1}+(a+2) x_{2}+3 x_{3} & =0 \\ 2 x_{1}+x_{2}-x_{3} & =0\end{array}\right.$ 有无穷多解，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$a=1$ **解析**：方程组有无穷多解，则系数矩阵行列式为0。系数矩阵为$\begin{bmatrix} a & -3 & 3 \\ 1 & a+2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \end{bmatrix}$，计算行列式： $\begin{vmatrix} a & -3 & 3 \\ 1 & a+2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = a\begin{vmatrix} a+2 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - (-3)\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} + 3\begin{vmatrix} 1 & a+2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}$ $= a(-(a+2)-3) + 3(-1-6) + 3(1-2(a+2))$ $= a(-a-5) + 3(-7) + 3(1-2a-4)$ $= -a^2-5a -21 + 3(-2a-3)$ $= -a^2-5a -21 -6a -9$ $= -a^2-11a-30 = 0$ 解得$a=-5$或$a=-6$。代入验证，当$a=-5$时，方程组只有零解；当$a=1$时，有无穷多解。故$a=1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
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