kaoyan3basic 线性代数 第320题
📝 题目
### 第320题 320 已知方程组 $$ $\left\{\begin{array}{c}$ a x_{1}+x_{2}+x_{3}=a-3 \\ x_{1}+a x_{2}+x_{3}=-2 \\ x_{1}+x_{2}+a x_{3}=-2 $\end{array}\right.$ $$ 有无穷多解，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$a=1$ **解析**：方程组有无穷多解，则系数矩阵行列式为0。系数矩阵为$\begin{bmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{bmatrix}$，计算行列式： $\begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = (a+2)(a-1)^2 = 0$，得$a=-2$或$a=1$。 当$a=-2$时，增广矩阵为$\begin{bmatrix} -2 & 1 & 1 & -5 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & -2 & -2 \end{bmatrix}$，化为行阶梯形，秩为2，增广矩阵秩为3，无解。 当$a=1$时，增广矩阵为$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 & -2 \end{bmatrix}$，秩为1，有无穷多解。故$a=1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定方程组有无穷多解的条件
方程组有无穷多解当且仅当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且小于未知数个数。由于是3个方程3个未知数，系数矩阵行列式为0且增广矩阵秩等于系数矩阵秩。
提示：注意区分无解、唯一解和无穷多解的条件。
步骤 2/5
目标：计算系数矩阵的行列式
系数矩阵为 A = [[a,1,1],[1,a,1],[1,1,a]]，计算行列式 |A| = (a+2)(a-1)^2。令其等于0，得 a = -2 或 a = 1。
公式：|A| = (a+2)(a-1)^2
提示：行列式计算可用行和相等技巧：将第2、3行加到第1行，提取公因子，再化为上三角。
步骤 3/5
目标：验证 a = -2 是否满足条件
当 a = -2 时，增广矩阵为 [[-2,1,1,-5],[1,-2,1,-2],[1,1,-2,-2]]。化为行阶梯形，得到系数矩阵秩为2，增广矩阵秩为3，无解。
提示：行变换时注意符号，避免计算错误。
步骤 4/5
目标：验证 a = 1 是否满足条件
当 a = 1 时，增广矩阵为 [[1,1,1,-2],[1,1,1,-2],[1,1,1,-2]]，秩为1，小于未知数个数3，有无穷多解。
提示：此时所有方程相同，自由变量个数为2。
步骤 5/5
目标：得出结论
只有 a = 1 满足条件，故答案为 a = 1。
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