kaoyan3basic 线性代数 第322题
📝 题目
### 第322题 322 （2002，数二）矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}0 & -2 & -2 \\ 2 & 2 & -2 \\ -2 & -2 & 2\end{array}\right]$ 的非零特征值是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$4$ **解析**：计算特征多项式$|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda & 2 & 2 \\ -2 & \lambda-2 & 2 \\ 2 & 2 & \lambda-2 \end{vmatrix}$，将第2、3列加到第1列，得$\begin{vmatrix} \lambda+4 & 2 & 2 \\ \lambda-4 & \lambda-2 & 2 \\ \lambda+4 & 2 & \lambda-2 \end{vmatrix}$，提取第1列公因子$\lambda+4$，得$(\lambda+4)\begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & \lambda-2 & 2 \\ 1 & 2 & \lambda-2 \end{vmatrix}$，第2、3行减第1行，得$(\lambda+4)\begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & \lambda-4 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda-4 \end{vmatrix} = (\lambda+4)(\lambda-4)^2$。特征值为$-4,4,4$，非零特征值为$4$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出特征多项式
计算 $|\lambda E - A|$，其中 $A$ 为给定矩阵。
公式：$|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda & 2 & 2 \\ -2 & \lambda-2 & 2 \\ 2 & 2 & \lambda-2 \end{vmatrix}$
提示：注意 $\lambda E - A$ 的符号：$A$ 的元素取负，对角线加 $\lambda$。
步骤 2/3
目标：化简行列式
将第2、3列加到第1列，提取公因子 $\lambda+4$，然后第2、3行减第1行。
公式：$\begin{vmatrix} \lambda+4 & 2 & 2 \\ \lambda-4 & \lambda-2 & 2 \\ \lambda+4 & 2 & \lambda-2 \end{vmatrix} = (\lambda+4)\begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & \lambda-2 & 2 \\ 1 & 2 & \lambda-2 \end{vmatrix} = (\lambda+4)\begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & \lambda-4 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda-4 \end{vmatrix}$
提示：列变换后提取公因子，再行变换化为上三角行列式。
步骤 3/3
目标：计算特征值
上三角行列式等于对角线元素乘积，得到 $|\lambda E - A| = (\lambda+4)(\lambda-4)^2$。令其为零，解得特征值 $\lambda = -4, 4, 4$。
公式：$|\lambda E - A| = (\lambda+4)(\lambda-4)^2 = 0$
提示：特征值包括重根，非零特征值为 $4$。
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