kaoyan3basic 线性代数 第323题
📝 题目
### 第323题 323 已知 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ ，其中 $\boldsymbol{\alpha}=(1,0,2)^{\mathrm{T}}$ ，则矩阵 $2 \boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$ 的特征值是 $\_\_\_\_$。 324已知 $\boldsymbol{\alpha}=(a, 1,1)^{\mathrm{T}}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 2 \\ 2 & a & -2 \\ 2 & -2 & -1\end{array}\right]$ 的逆矩阵的特征向量，那么 $\boldsymbol{\alpha}$ 在矩阵 $\boldsymbol{A}$ 中对应的特征值是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$1,1,-3$ **解析**：$\alpha\alpha^T$的秩为1，非零特征值为$\alpha^T\alpha = 1^2+0^2+2^2=5$，其余特征值为0。故$A$的特征值为$5,0,0$。则$2A-E$的特征值为$2\times5-1=9$，$2\times0-1=-1$，$2\times0-1=-1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：计算矩阵A的特征值
已知A = αα^T，其中α=(1,0,2)^T。由于αα^T是秩1矩阵，其非零特征值为α^Tα = 1^2+0^2+2^2=5，其余特征值为0。因此A的特征值为5,0,0。
公式：αα^T的非零特征值为α^Tα
提示：秩1矩阵只有一个非零特征值，等于其迹。
步骤 2/2
目标：计算矩阵2A-E的特征值
若λ是A的特征值，则2λ-1是2A-E的特征值。代入λ=5,0,0，得到特征值分别为2×5-1=9，2×0-1=-1，2×0-1=-1。
公式：若A的特征值为λ，则f(A)的特征值为f(λ)
提示：注意特征值的线性变换。
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