kaoyan3basic 线性代数 第325题
📝 题目
### 第325题 325 （1987，数四）矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}-3 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 4 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right]$ 的实特征值所对应的特征向量是 $\_\_\_\_$ ． $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$1$ **解析**：设$\alpha$是$A^{-1}$的特征向量，对应特征值$\mu$，则$A^{-1}\alpha = \mu\alpha$，即$\alpha = \mu A\alpha$，故$\displaystyle A\alpha = \frac{1}{\mu}\alpha$，即$\alpha$也是$A$的特征向量，对应特征值$\displaystyle \lambda = \frac{1}{\mu}$。由$A\alpha = \lambda\alpha$，得$\begin{bmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 2 & a & -2 \\ 2 & -2 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \lambda\begin{bmatrix} a \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$，即$\begin{cases} -a+2+2 = \lambda a \\ 2a+a-2 = \lambda \\ 2a-2-1 = \lambda \end{cases}$，由后两式得$3a-2 = 2a-3$，解得$a=-1$，代入得$\lambda = 3(-1)-2 = -5$，故特征值为$-5$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：写出特征多项式
计算矩阵A的特征多项式|λE-A|。
公式：|λE-A| = det([[λ+3, 1, -2], [0, λ+1, -4], [1, 0, λ-1]])
提示：注意符号，E是单位矩阵。
步骤 2/8
目标：计算行列式
按第一行展开或利用行变换计算行列式。
公式：|λE-A| = (λ+3)[(λ+1)(λ-1) - 0] - 1*[0*(λ-1) - (-4)*1] + (-2)*[0*0 - (λ+1)*1] = (λ+3)(λ+1)(λ-1) - 4 + 2(λ+1)
提示：展开时注意符号。
步骤 3/8
目标：化简特征多项式
合并同类项，得到多项式。
公式：(λ+3)(λ+1)(λ-1) + 2(λ+1) - 4 = (λ+1)[(λ+3)(λ-1)+2] - 4 = (λ+1)(λ^2+2λ-3+2) - 4 = (λ+1)(λ^2+2λ-1) - 4
提示：先提取公因式(λ+1)简化计算。
步骤 4/8
目标：进一步化简
展开并合并。
公式：(λ+1)(λ^2+2λ-1) - 4 = λ^3+2λ^2-λ+λ^2+2λ-1-4 = λ^3+3λ^2+λ-5
提示：注意合并同类项。
步骤 5/8
目标：求特征值
解特征方程λ^3+3λ^2+λ-5=0。尝试有理根，λ=1代入得1+3+1-5=0，所以λ=1是一个根。
公式：因式分解得(λ-1)(λ^2+4λ+5)=0，解得λ=1或λ=-2±i。
提示：利用因式定理，多项式有根λ=1。
步骤 6/8
目标：确定实特征值
实特征值为λ=1。
提示：复数特征值不是实特征值。
步骤 7/8
目标：求特征向量
解齐次线性方程组(E-A)x=0。
公式：E-A = [[4,1,-2],[0,2,-4],[1,0,0]]
提示：注意矩阵减法。
步骤 8/8
目标：化简方程组
由第三行得x1=0；代入第一行得x2-2x3=0；第二行得2x2-4x3=0，与第一行一致。
公式：令x3=1，则x2=2，x1=0，得特征向量(0,2,1)^T。
提示：自由变量取1，得到基础解系。
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