kaoyan3basic 线性代数 第358题

教材习题

📝 题目

### 第358题 358 已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均是 $n$ 阶可逆矩阵，则错误的是 （A）$\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1}\end{array}\right]$. （B）$\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \\ \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]$. （C）$\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right]^{n}=\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{A}^{n} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{n}\end{array}\right]$. （D）$\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]^{n}=\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A}^{n} \\ \boldsymbol{B}^{n} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]$ ．

💡 答案解析

**答案**：D **解析**：步骤1：选项A、B、C均为分块矩阵运算的正确结论。步骤2：对于选项D，当$n$为奇数时，$\begin{bmatrix} O & A \\ B & O \end{bmatrix}^n$不一定是$\begin{bmatrix} O & A^n \\ B^n & O \end{bmatrix}$形式，例如$n=2$时，$\begin{bmatrix} O & A \\ B & O \end{bmatrix}^2 = \begin{bmatrix} AB & O \\ O & BA \end{bmatrix}$，故D错误。 **难度**：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：验证选项A的正确性
对于分块对角矩阵，其逆矩阵等于各子块逆矩阵构成的分块对角矩阵，即 $\begin{bmatrix} A & O \\ O & B \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} A^{-1} & O \\ O & B^{-1} \end{bmatrix}$，因此选项A正确。
公式：$\begin{bmatrix} A & O \\ O & B \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} A^{-1} & O \\ O & B^{-1} \end{bmatrix}$
提示：分块对角矩阵的逆等于各子块逆的对应分块对角矩阵。
步骤 2/4
目标：验证选项B的正确性
对于反对角分块矩阵，其逆矩阵为 $\begin{bmatrix} O & A \\ B & O \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} O & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{bmatrix}$，因此选项B正确。
公式：$\begin{bmatrix} O & A \\ B & O \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} O & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{bmatrix}$
提示：反对角分块矩阵的逆需要交换子块位置并取逆。
步骤 3/4
目标：验证选项C的正确性
分块对角矩阵的幂等于各子块幂构成的分块对角矩阵，即 $\begin{bmatrix} A & O \\ O & B \end{bmatrix}^n = \begin{bmatrix} A^n & O \\ O & B^n \end{bmatrix}$，因此选项C正确。
公式：$\begin{bmatrix} A & O \\ O & B \end{bmatrix}^n = \begin{bmatrix} A^n & O \\ O & B^n \end{bmatrix}$
提示：分块对角矩阵的幂等于各子块分别取幂。
步骤 4/4
目标：验证选项D的正确性
考虑 $n=2$ 的情况：$\begin{bmatrix} O & A \\ B & O \end{bmatrix}^2 = \begin{bmatrix} AB & O \\ O & BA \end{bmatrix}$，而选项D给出 $\begin{bmatrix} O & A^2 \\ B^2 & O \end{bmatrix}$，两者不等，因此选项D错误。
公式：$\begin{bmatrix} O & A \\ B & O \end{bmatrix}^2 = \begin{bmatrix} AB & O \\ O & BA \end{bmatrix}$
提示：反对角分块矩阵的幂次运算需要分奇偶讨论，不能简单地将子块分别取幂。

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第357题 返回列表 第359题 →