kaoyan3basic 线性代数 第359题
📝 题目
### 第359题 359 已知 $\boldsymbol{X A}+2 \boldsymbol{E}=\boldsymbol{X}+\boldsymbol{B}$ ，其中 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cc}2 & 2 \\ 1 & -1\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{X}=$ （A）$\left[\begin{array}{cc}1 & -3 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ ． （B）$\left[\begin{array}{cc}-1 & 3 \\ 0 & -1\end{array}\right]$ ． （C）$\displaystyle \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -\frac{3}{2} & 1\end{array}\right]$ ． （D）$\displaystyle \left[\begin{array}{cc}2 & 0 \\ -3 & \frac{1}{2}\end{array}\right]$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：由$XA+2E = X+B$，移项得$XA - X = B - 2E$，即$X(A-E) = B-2E$。步骤2：计算$A-E = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$，$B-2E = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix}$。步骤3：解矩阵方程$X(A-E) = B-2E$，则$X = (B-2E)(A-E)^{-1}$。步骤4：求$\displaystyle (A-E)^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ \frac{1}{2} & 0 \end{bmatrix}$。步骤5：$\displaystyle X = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ \frac{1}{2} & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{3}{2} & 1 \end{bmatrix}$。 **难度**：★★★☆☆