kaoyan3basic 线性代数 第360题
📝 题目
### 第360题 360 已知 $\boldsymbol{A}$ 是任意一个 $n$ 阶矩阵，则 （1） $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ ； （2） $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ ； （3） $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ ； （4） $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{*}$ ； （5） $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ ． 上述矩阵中，对称矩阵一共有 （A） 2 个． （B） 3 个． （C） 4 个． （D） 5 个．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：$(A+A^T)^T = A^T + A = A+A^T$，对称。步骤2：$(A-A^T)^T = A^T - A = -(A-A^T)$，反对称，不是对称矩阵。步骤3：$(AA^T)^T = (A^T)^T A^T = AA^T$，对称。步骤4：$(AA^*)^T = (A^*)^T A^T$，一般不对称，但$AA^* = |A|E$是对称矩阵。步骤5：$(A^T A)^T = A^T (A^T)^T = A^T A$，对称。故对称矩阵有(1)(3)(4)(5)共4个。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：判断矩阵(1) A+A^T 是否为对称矩阵
计算 (A+A^T)^T = A^T + (A^T)^T = A^T + A = A+A^T，因此 A+A^T 是对称矩阵。
公式：(A+B)^T = A^T + B^T, (A^T)^T = A
提示：对称矩阵的定义是 A^T = A。
步骤 2/6
目标：判断矩阵(2) A-A^T 是否为对称矩阵
计算 (A-A^T)^T = A^T - (A^T)^T = A^T - A = -(A-A^T)，因此 A-A^T 是反对称矩阵，不是对称矩阵。
公式：(A-B)^T = A^T - B^T
提示：反对称矩阵满足 A^T = -A。
步骤 3/6
目标：判断矩阵(3) AA^T 是否为对称矩阵
计算 (AA^T)^T = (A^T)^T A^T = AA^T，因此 AA^T 是对称矩阵。
公式：(AB)^T = B^T A^T
提示：注意转置的顺序交换。
步骤 4/6
目标：判断矩阵(4) AA* 是否为对称矩阵
AA* = |A|E，其中 E 是单位矩阵。由于 |A|E 是对角矩阵且转置等于自身，因此 AA* 是对称矩阵。
公式：AA* = |A|E
提示：伴随矩阵的性质：AA* = A*A = |A|E。
步骤 5/6
目标：判断矩阵(5) A^T A 是否为对称矩阵
计算 (A^T A)^T = A^T (A^T)^T = A^T A，因此 A^T A 是对称矩阵。
公式：(AB)^T = B^T A^T
提示：与(3)类似。
步骤 6/6
目标：统计对称矩阵个数
由以上分析，对称矩阵有(1)、(3)、(4)、(5)，共4个。
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