kaoyan3basic 线性代数 第357题
📝 题目
### 第357题 357 已知 $\boldsymbol{A}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 2\end{array}\right]$ ，则 $|\boldsymbol{A}|$ 的代数余子式 $A_{11}+A_{12}+A_{13}=$ （A）$\displaystyle \frac{1}{3}$ ． （B）$\displaystyle \frac{2}{3}$ ． （C） 1 ． （D） 2 ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：由$A^{-1}$可求$|A^{-1}| = 1 \cdot (2 \cdot 2 - (-1) \cdot 0) - (-1) \cdot (0 \cdot 2 - (-1) \cdot 1) + 1 \cdot (0 \cdot 0 - 2 \cdot 1) = 4 + 1 - 2 = 3$，故$\displaystyle |A| = \frac{1}{3}$。步骤2：$A_{11}+A_{12}+A_{13}$为$|A|$中第一行各元素代数余子式之和，等于将$|A|$第一行元素全换为1后的行列式值。步骤3：由$\displaystyle A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*$，得$\displaystyle A^* = |A| A^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$。步骤4：$A^*$的第一行元素为$A_{11}, A_{12}, A_{13}$，故$\displaystyle A_{11}+A_{12}+A_{13} = \frac{1}{3}(1-1+1) = \frac{1}{3}$。 **难度**：★★★☆☆