kaoyan3basic 线性代数 第416题
📝 题目
### 第416题 416 设三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $1,2,-1$ ，若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$ ，则下列矩阵中可逆矩阵是 （A） $\boldsymbol{B}-\boldsymbol{E}$ ． （B） $\boldsymbol{B}+\boldsymbol{E}$ ． （C） $\boldsymbol{B}-2 \boldsymbol{E}$ ． （D） $\boldsymbol{B}+2 \boldsymbol{E}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：$\boldsymbol{A}$特征值为$1,2,-1$，$\boldsymbol{B}$与之相同。$\boldsymbol{B}+2\boldsymbol{E}$的特征值为$3,4,1$，均非零，故可逆。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定矩阵B的特征值
由于矩阵A与B相似，它们有相同的特征值。已知A的特征值为1, 2, -1，因此B的特征值也是1, 2, -1。
公式：相似矩阵有相同特征值
提示：相似矩阵的特征值相同，这是解题关键。
步骤 2/3
目标：计算各选项矩阵的特征值
对于选项中的矩阵，利用特征值的平移性质：若λ是B的特征值，则B+kE的特征值为λ+k。分别计算：
- (A) B-E的特征值：1-1=0, 2-1=1, -1-1=-2
- (B) B+E的特征值：1+1=2, 2+1=3, -1+1=0
- (C) B-2E的特征值：1-2=-1, 2-2=0, -1-2=-3
- (D) B+2E的特征值：1+2=3, 2+2=4, -1+2=1
公式：若λ是B的特征值，则B+kE的特征值为λ+k
提示：注意特征值的平移性质，避免计算错误。
步骤 3/3
目标：判断可逆性
矩阵可逆当且仅当所有特征值均不为0。检查各选项：
- (A) 有特征值0，不可逆
- (B) 有特征值0，不可逆
- (C) 有特征值0，不可逆
- (D) 所有特征值3,4,1均非零，可逆
公式：矩阵可逆 ⇔ 所有特征值非零
提示：特征值为0时矩阵奇异，不可逆。
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