kaoyan3basic 线性代数 第417题
📝 题目
### 第417题 417 已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$ ，则下列命题中 （1） $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \sim \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ ， （2） $\boldsymbol{A}^{2} \sim \boldsymbol{B}^{2}$, （3） $\boldsymbol{A}^{-1} \sim \boldsymbol{B}^{-1}$ ， （4） $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \sim \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$,正确的命题共有 （A） 4 个． （B） 3 个． （C） 2 个． （D） 1 个．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：由$\boldsymbol{A}\sim\boldsymbol{B}$知存在可逆$\boldsymbol{P}$使$\boldsymbol{B}=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}$，则 (1)$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\sim\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}$（因$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\boldsymbol{P}^{-1}(\boldsymbol{B}\boldsymbol{A})\boldsymbol{P}$）， (2)$\boldsymbol{A}^2\sim\boldsymbol{B}^2$， (3)$\boldsymbol{A}^{-1}\sim\boldsymbol{B}^{-1}$， (4)$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\sim\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$，均成立。 **难度**：★★☆☆☆