kaoyan3basic 线性代数 第415题
📝 题目
### 第415题 415 下列矩阵中， $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 相似的是 （A） $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 2 & 2\end{array}\right]$. （B） $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right]$ ． （C） $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 3\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right]$ ． （D） $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 0 & 3\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 1 & 3\end{array}\right]$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：选项B中两矩阵特征值均为$1,2$且均可对角化（因不同特征值），故相似。其余选项特征值或秩不同。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：判断矩阵相似的条件
矩阵相似的必要条件包括：特征值相同、秩相同、行列式相同、迹相同。充分条件：若两矩阵都可对角化且特征值相同，则相似。
提示：先检查特征值，若特征值不同则一定不相似；若特征值相同，需判断是否可对角化。
步骤 2/5
目标：分析选项A
A中矩阵A的特征值为1和2，矩阵B的秩为1（两行成比例），特征值为0和3，特征值不同，故不相似。
公式：det(λI-A)=0
提示：注意B的秩为1，特征值可快速得出。
步骤 3/5
目标：分析选项B
B中矩阵A的特征值为1和2，矩阵B的特征值也为1和2。由于特征值不同，两矩阵均可对角化，故相似。
提示：不同特征值对应的矩阵一定可对角化。
步骤 4/5
目标：分析选项C
C中矩阵A的特征值为2±√2，矩阵B的特征值为1和2，特征值不同，故不相似。
提示：计算特征值即可。
步骤 5/5
目标：分析选项D
D中矩阵A是数量矩阵，特征值为3（二重），矩阵B的特征值为3（二重），但B不可对角化（Jordan块），而A已对角化，故不相似。
提示：数量矩阵只与自身相似。
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