kaoyan3basic 线性代数 第414题
📝 题目
### 第414题 414 下列矩阵中，不能相似对角化的是 （A）$\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2\end{array}\right]$ ． （B）$\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$ ． （C）$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & -1\end{array}\right]$ ． （D）$\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 1\end{array}\right]$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：选项B矩阵特征值为$1,1,-1$，但$\lambda=1$的几何重数$=1$（秩$=2$），小于代数重数$2$，故不能相似对角化。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：判断矩阵能否相似对角化的条件
矩阵可相似对角化的充要条件是每个特征值的代数重数等于几何重数。几何重数 = n - r(A - λI)。
公式：几何重数 = n - rank(A - λI)
提示：注意代数重数是特征值的重数，几何重数是特征值对应的线性无关特征向量的个数。
步骤 2/5
目标：计算选项A的特征值及几何重数
选项A是下三角矩阵，特征值为1,3,2，互不相同，所以可相似对角化。
提示：若特征值互异，则矩阵必可相似对角化。
步骤 3/5
目标：计算选项B的特征值及几何重数
选项B是上三角矩阵，特征值为1,1,-1。对于λ=1，计算A-I的秩：A-I = [[0,2,3],[0,0,2],[0,0,-2]]，秩为2，所以几何重数=3-2=1，小于代数重数2，故不能相似对角化。
公式：几何重数 = 3 - rank(A - I)
提示：注意λ=1的代数重数为2，几何重数为1，不相等。
步骤 4/5
目标：计算选项C的特征值及几何重数
选项C是下三角矩阵，特征值为1,1,-1。对于λ=1，计算A-I的秩：A-I = [[0,0,0],[0,0,0],[3,2,-2]]，秩为1，所以几何重数=3-1=2，等于代数重数2，故可相似对角化。
提示：注意λ=1的几何重数为2，与代数重数相等。
步骤 5/5
目标：计算选项D的特征值及几何重数
选项D是实对称矩阵，必可相似对角化。
提示：实对称矩阵一定可相似对角化。
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