kaoyan3basic 线性代数 第413题
📝 题目
### 第413题 413 设 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵，特征值是 $2,2,-5 . \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 关于 $\lambda=2$ 的线性无关的特征向量， $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 对应于 $\lambda=-5$ 的特征向量．若 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{lll}2 & & \\ & 2 & \\ & & -5\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{P}$ 不能是 （A）$\left[\boldsymbol{\alpha}_{2},-\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ ． （B）$\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, 5 \boldsymbol{\alpha}_{1}, 2 \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ ． （C）$\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ ． （D）$\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：选项D中第三列$\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3$不是$\boldsymbol{A}$的特征向量（因$\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$属不同特征值，其和不是特征向量），故$\boldsymbol{P}$不可逆或不能对角化。 **难度**：★★★☆☆