kaoyan3basic 线性代数 第412题

教材习题

📝 题目

### 第412题 412 设 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵，其特征值是 $1,3,-2$ ，相应的特征向量依次为 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ ，若 $\boldsymbol{P}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, 2 \boldsymbol{\alpha}_{3},-\boldsymbol{\alpha}_{2}\right]$ ，则 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=$ （A）$\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & -2 & \\ & & 3\end{array}\right]$ ． （B）$\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & -4 & \\ & & -3\end{array}\right]$ ． （C）$\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & -2 & \\ & & -3\end{array}\right]$ ． （D）$\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 3 & \\ & & -2\end{array}\right]$ ．

💡 答案解析

**答案**：A **解析**：$\boldsymbol{P}=[\boldsymbol{\alpha}_1,2\boldsymbol{\alpha}_3,-\boldsymbol{\alpha}_2]$，则 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_1=1\cdot\boldsymbol{\alpha}_1$， $\boldsymbol{A}(2\boldsymbol{\alpha}_3)=2\cdot(-2)\boldsymbol{\alpha}_3=-4\boldsymbol{\alpha}_3$， $\boldsymbol{A}(-\boldsymbol{\alpha}_2)=-1\cdot3\boldsymbol{\alpha}_2=-3\boldsymbol{\alpha}_2$， 故$\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\operatorname{diag}(1,-2,3)$。 **难度**：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：理解矩阵P的构造
矩阵P由三个列向量组成：第一列是α1，第二列是2α3，第三列是-α2。
公式：P = [α1, 2α3, -α2]
提示：注意特征向量的顺序和缩放因子。
步骤 2/5
目标：计算A与P各列的作用
利用特征值与特征向量的关系：Aα1 = 1·α1；A(2α3) = 2·Aα3 = 2·(-2)α3 = -4α3；A(-α2) = -1·Aα2 = -1·3α2 = -3α2。
公式：Aα_i = λ_i α_i
提示：注意特征值对应：α1对应1，α2对应3，α3对应-2。
步骤 3/5
目标：写出AP的表达式
AP = A·[α1, 2α3, -α2] = [Aα1, A(2α3), A(-α2)] = [1·α1, -4α3, -3α2]。
公式：AP = [λ1 α1, λ2' (2α3), λ3' (-α2)]
提示：注意结果列向量仍为原特征向量的倍数。
步骤 4/5
目标：将AP表示为P乘以对角矩阵
观察AP的列：第一列是α1，对应P的第一列；第二列是-4α3 = (-2)·(2α3)，对应P的第二列乘以-2；第三列是-3α2 = 3·(-α2)，对应P的第三列乘以3。因此AP = P·diag(1, -2, 3)。
公式：AP = P·diag(1, -2, 3)
提示：注意对角矩阵的元素顺序与P的列对应。
步骤 5/5
目标：求解P^{-1}AP
由AP = P·diag(1, -2, 3)，左乘P^{-1}得P^{-1}AP = diag(1, -2, 3)。
公式：P^{-1}AP = diag(1, -2, 3)
提示：对角矩阵即为答案。

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