kaoyan3basic 线性代数 第411题

教材习题

📝 题目

### 第411题 411 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，下列命题中正确的是 （A）若 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 的特征向量，那么 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量． （B）若 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}^{*}$ 的特征向量，那么 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量． （C）若 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}^{2}$ 的特征向量，那么 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量． （D）若 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $2 \boldsymbol{A}$ 的特征向量，那么 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量． □

💡 答案解析

**答案**：D **解析**：若$\boldsymbol{\alpha}$是$2\boldsymbol{A}$的特征向量，则存在$\mu$使$2\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}=\mu\boldsymbol{\alpha}$，即$\displaystyle \boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}=\frac{\mu}{2}\boldsymbol{\alpha}$，故$\boldsymbol{\alpha}$也是$\boldsymbol{A}$的特征向量。其余选项可举反例。 **难度**：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：分析选项D的正确性
若α是2A的特征向量，则存在μ使2Aα=μα，两边乘以1/2得Aα=(μ/2)α，故α也是A的特征向量。
公式：2Aα=μα ⇒ Aα=(μ/2)α
提示：特征向量定义：非零向量α满足Aα=λα，λ为特征值。
步骤 2/2
目标：分析选项A、B、C的反例
选项A：取A=[[0,1],[0,0]]，则A^T=[[0,0],[1,0]]，α=(1,0)^T是A^T的特征向量（特征值0），但不是A的特征向量。选项B：取A=[[1,0],[0,2]]，则A* = [[2,0],[0,1]]，α=(1,0)^T是A*的特征向量（特征值2），也是A的特征向量，但需构造反例：A=[[0,1],[0,0]]，A* = [[0,0],[0,0]]，任意向量都是A*的特征向量，但非A的特征向量。选项C：取A=[[0,1],[0,0]]，A^2=0，任意向量都是A^2的特征向量，但非A的特征向量。
提示：构造反例时常用幂零矩阵或对角矩阵。

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