kaoyan3basic 线性代数 第410题
📝 题目
### 第410题 410 已知 $\boldsymbol{\alpha}=(1,-2,3)^{\mathrm{T}}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}3 & 2 & -1 \\ a & -2 & 2 \\ 3 & b & -1\end{array}\right]$ 的特征向量，则 （A）$a=-2, b=6$ ． （B）$a=2, b=-6$ ． （C）$a=2, b=6$ ． （D）$a=-2, b=-6$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：设$\boldsymbol{\alpha}$对应特征值$\lambda$，则$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}=\lambda\boldsymbol{\alpha}$，即 $$ \begin{cases} 3\cdot1+2\cdot(-2)+(-1)\cdot3 = \lambda\cdot1 \\ a\cdot1+(-2)\cdot(-2)+2\cdot3 = \lambda\cdot(-2) \\ 3\cdot1+b\cdot(-2)+(-1)\cdot3 = \lambda\cdot3 \end{cases} $$ 解得$\lambda=-4$，$a=-2$，$b=6$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设特征值并建立方程
设α对应的特征值为λ，则Aα = λα。将矩阵A和向量α代入，得到方程组。
公式：Aα = λα
提示：特征向量满足特征方程，直接代入计算。
步骤 2/6
目标：写出方程组
由Aα = λα，得：
3*1 + 2*(-2) + (-1)*3 = λ*1
a*1 + (-2)*(-2) + 2*3 = λ*(-2)
3*1 + b*(-2) + (-1)*3 = λ*3
化简得：
3 - 4 - 3 = λ → λ = -4
a + 4 + 6 = -2λ → a + 10 = -2λ
3 - 2b - 3 = 3λ → -2b = 3λ
公式：无
提示：注意符号，逐项计算。
步骤 3/6
目标：求解λ
由第一个方程：3 - 4 - 3 = λ，得λ = -4。
公式：无
提示：直接计算即可。
步骤 4/6
目标：代入λ求解a
将λ = -4代入第二个方程：a + 10 = -2*(-4) = 8，解得a = -2。
公式：a + 10 = -2λ
提示：注意负号。
步骤 5/6
目标：代入λ求解b
将λ = -4代入第三个方程：-2b = 3*(-4) = -12，解得b = 6。
公式：-2b = 3λ
提示：两边除以-2。
步骤 6/6
目标：得出答案
a = -2, b = 6，对应选项A。
公式：无
提示：检查选项。
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