kaoyan3basic 线性代数 第369题
📝 题目
### 第369题 369 已知 $a$ 是任意常数，下列矩阵中秩有可能不等于 3 的是 （A）$\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a-1\end{array}\right]$ ． （B）$\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & a & a+1\end{array}\right]$ ． （C）$\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & 0 & a+1\end{array}\right]$ ． （D）$\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a+1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 a+2\end{array}\right]$ ． 370 设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是四阶非零矩阵，且 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ ，则必有
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 题目要求找出矩阵秩有可能不等于 3 的选项，即矩阵的秩可能小于 3。
- 选项 A：矩阵是 3×4 的，且前两行线性无关，第三行前三个元素为 (0,0,1)，不会全为零，因此无论 a 取何值，第三行都不为零且与前两行线性无关，秩恒为 3。 - 选项 B：类似，第三行前三个元素为 (0,0,a)，若 a ≠ 0，则三行线性无关，秩为 3；若 a = 0，第三行变为 (0,0,0,1)，仍非零且与前两行无关，秩仍为 3。 - 选项 C：矩阵是 4×4 的，但第三行和第四行只有最后一列非零，且分别为 a 和 a+1。若 a = 0 且 a+1 = 1 ≠ 0，则第三行为零行，第四行非零，秩为 3；若 a = -1，则第四行为零行，第三行非零，秩也为 3；若 a = 0 且 a+1 = 0 不可能同时成立，但若 a 取某些值可能使两行同时为零？实际上 a 和 a+1 不可能同时为零，所以至少有一行非零，但这两行线性相关吗？它们成比例吗？只有当 a 和 a+1 成比例且比例因子相同才可能相关，但这里 a 和 a+1 不可能成比例（除非无穷大），因此这两行总是线性无关？注意：它们只在最后一列有非零元素，若 a ≠ 0 且 a+1 ≠ 0，则两行不成比例，秩为 4；若 a=0，第三行为零行，第四行非零，秩为 3；若 a=-1，第四行为零行，第三行非零，秩为 3。所以秩有可能为 3，即不等于 4（但题目问的是“不等于 3”，即秩可能不是 3？注意题目说“秩有可能不等于 3”，即存在 a 使秩 ≠ 3。对于 C，当 a=0 或 a=-1 时秩为 3，当 a 取其他值时秩为 4，所以秩有可能等于 3，也有可能不等于 3（例如 a=1 时秩为 4），因此 C 满足条件。 - 选项 D：第四行是第三行的 2 倍（2a+2 = 2(a+1)），所以两行线性相关，秩最多为 3，且无论 a 取何值，前两行与第三行（或第四行）线性无关，秩恒为 3。
因此只有 C 的秩有可能不等于 3（即可能为 4）。
**难度**：★★☆☆☆