kaoyan3basic 线性代数 第371题
📝 题目
### 第371题 371 已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{A}^{*}$ 均为 3 阶非零矩阵，且满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ ，则 $r(\boldsymbol{B})=$ （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 1 或 2 ．
💡 答案解析
**答案**：A
**解析**： 已知 $A$ 是 3 阶非零矩阵，且 $A^*$ 也是非零矩阵，说明 $A$ 的秩至少为 2（因为若 $r(A) \le 1$，则 $A^* = O$）。 又由 $AB = O$，根据秩不等式有 $$ r(A) + r(B) \le 3. $$ 由于 $r(A) \ge 2$，可得 $r(B) \le 1$。 又因为 $B$ 是非零矩阵，所以 $r(B) \ge 1$，因此 $r(B) = 1$。
**难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析矩阵A的秩
已知A是3阶非零矩阵，且A*也是非零矩阵。对于3阶矩阵，若r(A) ≤ 1，则A* = O。由于A*非零，所以r(A) ≥ 2。
公式：若r(A) ≤ n-2，则A* = O
提示：注意伴随矩阵的秩性质：r(A*) = n 若 r(A)=n；r(A*)=1 若 r(A)=n-1；r(A*)=0 若 r(A)≤n-2。
步骤 2/3
目标：利用AB=O得到秩不等式
由AB=O，根据秩不等式有 r(A) + r(B) ≤ 3。
公式：若AB=O，则r(A)+r(B) ≤ n
提示：这是矩阵乘积的秩不等式，常用于处理零乘积条件。
步骤 3/3
目标：推导r(B)的范围
由r(A) ≥ 2，代入不等式得 2 + r(B) ≤ 3，即 r(B) ≤ 1。又因为B是非零矩阵，所以r(B) ≥ 1。因此r(B)=1。
提示：注意非零矩阵的秩至少为1。
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