kaoyan3basic 线性代数 第372题
📝 题目
### 第372题 372 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ 3 & a & 2 \\ a & 4 & a\end{array}\right]$ ，则 $a=-2$ 是 $r(\boldsymbol{A})=2$ 的 （A）充分而非必要条件． （B）必要而非充分条件． （C）充分且必要条件． （D）既不充分也不必要条件． □ 纠铺笔记
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 将 $a=-2$ 代入矩阵 $A$，得 $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -2 & 2 \\ -2 & 4 & -2 \end{pmatrix} $$ 进行初等行变换： 第一行不变，第二行减去3倍第一行，第三行加2倍第一行： $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -8 & 2 \\ 0 & 8 & -2 \end{pmatrix} $$ 第三行加第二行得： $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -8 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ 可见此时矩阵秩为2，因此 $a=-2$ 能推出 $r(A)=2$，是充分条件。
反过来，若 $r(A)=2$，则行列式 $|A|=0$。计算行列式： $$ \det(A) = 1\cdot(a\cdot a - 2\cdot4) - 2\cdot(3\cdot a - 2\cdot a) + 0 = (a^2 - 8) - 2(3a - 2a) = a^2 - 8 - 2a $$ 令其为零得 $a^2 - 2a - 8 = 0$，解得 $a=4$ 或 $a=-2$。 当 $a=4$ 时，代入矩阵可验证秩也为2（例如第一行与第二行不成比例，且第三行可由前两行线性表示），因此 $r(A)=2$ 时 $a$ 不一定为 $-2$，也可能是4。所以 $a=-2$ 不是必要条件。
综上，$a=-2$ 是 $r(A)=2$ 的充分而非必要条件。
**难度**：★★☆☆☆